我们已经得到了麦克斯韦方程组 的四个零散方程。接下来让我们把它们整合到一起，变成统一的形式。但在这之前，我们需要两条整理方程组的必备前置技能。
散度定理（高斯公式） ∭ V ∇ ⋅ F d v = ∯ S F ⋅ d s \iiint_V\nabla\cdot\mathbf F\mathrm dv=\oiint_S\mathbf F\cdot\mathrm d\mathbf s ∭ V ∇ ⋅ F d v = ∬ S F ⋅ d s 这里的 ∭ \iiint ∭ ∯ \oiint ∬ 体积 积分和闭合曲面积分 的严谨符号。所以思考一下：这个公式有没有很熟悉？没错！这和我们之前讲到的电场高斯定律 有异曲同工之妙。虽然在这个公式里，“电荷”不再被包裹，但不难理解，等式右侧代表流入闭合曲面与流出闭合曲面的向量的总和！但需要注意，和磁场线不一样的是，被闭合曲面包住的区域有可能包含向量场的源或汇，所以等式右侧的值一般不等于 0 0 0
来到等式左边的三重积分。这里的 ∇ ⋅ F \nabla\cdot\mathbf F ∇ ⋅ F d v \mathrm dv d v 向量场在这块大体积 V V V 中的被吸收与输出的总和到底是多少 ”。转化一下，这个值实际上就是等式右侧向量进入闭合曲面和离开闭合曲面的总和，这就是高斯公式的直观解释。
旋度定理（斯托克斯公式） ∬ S ∇ × F ⋅ d S = ∮ C F ⋅ d r \iint_S\nabla\times\mathbf F\cdot\mathrm d\mathbf S=\oint_C\mathbf F\cdot\mathrm d\mathbf r ∬ S ∇ × F ⋅ d S = ∮ C F ⋅ d r 这里的 ∮ \oint ∮ F \mathbf F F C C C C C C
化简方程组 通过这两个重要公式，我们可以来化简麦克斯韦方程组啦！
电场高斯定律 ∮ A E ⋅ d A = q ε 0 \oint_A\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf A=\frac{q}{\varepsilon_0} ∮ A E ⋅ d A = ε 0 q 等号左侧应用高斯公式，右侧改写电荷为电荷密度：
∭ V ∇ ⋅ E d V = 1 ε 0 ∭ V ρ d V \iiint_V\nabla\cdot\mathbf E\mathrm dV=\frac{1}{\varepsilon_0}\iiint_V\rho\mathrm dV ∭ V ∇ ⋅ E d V = ε 0 1 ∭ V ρ d V 因为这式子对任意一小块体积都成立，所以在场足够光滑的地方，两边的被积函数必须处处相等，搞定！这里可不是把积分号当普通乘数约掉哦。
∇ ⋅ E = ρ ε 0 (1) \nabla\cdot\mathbf E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\tag1 ∇ ⋅ E = ε 0 ρ ( 1 ) 磁场高斯定律 ∮ A B ⋅ d A = 0 \oint_A\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf A= 0 ∮ A B ⋅ d A = 0 同样，因为这式子对任意一小块体积都成立，在场足够光滑的地方，高斯公式升维秒了：
∇ ⋅ B = 0 (2) \nabla\cdot\mathbf B= 0\tag2 ∇ ⋅ B = 0 ( 2 ) 法拉第电磁感应定律 这里为了严谨美观把右边改成了二重积分，含义没变。这里和后面的麦克斯韦-安培积分式都取固定不动的环路 C C C 和曲面 S S S ， C C C 是 S S S 的边界；绕行方向和曲面法向按右手定则配套选取。
∮ C E ⋅ d l = − d d t ∬ S B ⋅ d A \oint_C \mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf l = -{{ \mathrm d } \over {\mathrm d {t} }} \iint_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf A ∮ C E ⋅ d l = − d t d ∬ S B ⋅ d A 左侧斯托克斯公式升维：
∬ S ∇ × E ⋅ d A = − d d t ∬ S B ⋅ d A \iint_S\nabla\times\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf A= -{{ \mathrm d } \over {\mathrm d {t} }} \iint_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf A ∬ S ∇ × E ⋅ d A = − d t d ∬ S B ⋅ d A 先把时间导数移进固定曲面的积分里。因为等式对任意位置、任意朝向的一小块曲面都成立，所以在场足够光滑的地方，两边的被积向量必须相等，完成！
∇ × E = − ∂ B ∂ t (3) \nabla\times\mathbf E=-\frac{\partial \mathbf B}{\partial t}\tag3 ∇ × E = − ∂ t ∂ B ( 3 ) 麦克斯韦-安培定律 好像咱已经整出来了：
∇ × B = μ 0 J + μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t (4) \nabla \times \mathbf{B} = \mu _0\mathbf{J} + \mu _0\varepsilon_0 \cfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t }\tag4 ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ε 0 ∂ t ∂ E ( 4 ) 那就给读者留个练习吧！证明：
∮ C B ⋅ d l = μ 0 I + μ 0 ε 0 d d t ∬ S E ⋅ d A \oint_C \mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf l = \mu_0I+\mu_0\varepsilon_0\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\iint_S\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf A ∮ C B ⋅ d l = μ 0 I + μ 0 ε 0 d t d ∬ S E ⋅ d A 努力的成果 麦克斯韦方程组：
∇ ⋅ E = ρ ε 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t \large
\begin{aligned}
\nabla \cdot \mathbf{E} &= \frac{\rho}{\varepsilon_0} \\[6pt]
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\[6pt]
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\[6pt]
\nabla \times \mathbf{B} &= \mu_0\mathbf{J}
+ \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}
\end{aligned} ∇ ⋅ E ∇ ⋅ B ∇ × E ∇ × B = ε 0 ρ = 0 = − ∂ t ∂ B = μ 0 J + μ 0 ε 0 ∂ t ∂ E
