其实上一篇文章只是我突然想随便写点什么，就写了一篇文章。不过现在我又想着应该深入研究一下复分析的知识，所以这个专栏自然而然的就引出来啦~
从欧拉公式出发 上一篇我们整出了欧拉方程，简单定义了复指数函数 e z e^z e z
e x + i y = e x ( cos y + i sin y ) e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y) e x + i y = e x ( cos y + i sin y ) 让我们从最直观的几何角度出发，看看 e x + i y e^{x+iy} e x + i y e x ( cos y + i sin y ) e^x(\cos y+i\sin y) e x ( cos y + i sin y )
模长 ：
∣ e x + i y ∣ = e x cos 2 y + sin 2 y = e x \left|e^{x+iy}\right| = e^x\sqrt{\cos^2y+\sin^2y}=e^x e x + i y = e x cos 2 y + sin 2 y = e x 辐角 ：
arg ( e x + i y ) = y ( m o d 2 π ) \arg(e^{x+iy}) = y\pmod{2\pi} arg ( e x + i y ) = y ( mod 2 π ) 也就是说， e x + i y e^{x+iy} e x + i y e x e^x e x y y y z = x + i y z=x+iy z = x + i y e Re z e^{\operatorname{Re} z} e Re z Im y \operatorname{Im}y Im y
因此， x x x 控制着这个点的缩放， y y y 控制着这个点的旋转。
缩放与旋转 复指数的性质 加法公式 对任意复数 z , w ∈ C z,w\in\mathbb C z , w ∈ C
e z + w = e z e w e^{z+w}=e^ze^w e z + w = e z e w 由此可得：
e z − w = e z e w e^{z-w} = \frac{e^z}{e^w} e z − w = e w e z 以及
e n z = ( e z ) n , n ∈ Z e^{nz} = \left(e^z\right)^n,\quad n\in\Z e n z = ( e z ) n , n ∈ Z 特别地，
e 0 = 1 , e − z = 1 e z e^0=1,\quad e^{-z}=\frac{1}{e^z} e 0 = 1 , e − z = e z 1 其实这和我们熟悉的指数函数没什么差别，只不过从 R \R R C \mathbb C C
复指数永远不等于零 很符合直觉，证明也很简单：
e z e − z = e z − z = e 0 = 1 e^ze^{-z}=e^{z-z}=e^0=1 e z e − z = e z − z = e 0 = 1 所以 e z e^z e z
1 e z = e − z \frac{1}{e^z}=e^{-z} e z 1 = e − z 因此复指数函数的值域是 C \ { 0 } \mathbb C \backslash \{0\} C \ { 0 } 任何非零复数都可以写成某个复指数的形式 。
周期性 复指数函数满足 e z + 2 π i = e z e^{z+2\pi i}=e^z e z + 2 πi = e z e 2 π i = cos 2 π + i sin 2 π = 1 e^{2\pi i}=\cos2\pi + i\sin2\pi = 1 e 2 πi = cos 2 π + i sin 2 π = 1 2 π 2\pi 2 π 2 π 2\pi 2 π
如果扩展一下，让角度不止可以转一圈，如果转两圈转三圈呢？其实也是一样的，都会回到原位。因此，更一般地，对任意整数 k ∈ Z k\in\Z k ∈ Z
e z + 2 π i k = e z e^{z+2\pi ik}=e^z e z + 2 πik = e z 所以 e z e^z e z 2 π i k 2\pi ik 2 πik 2 π i 2\pi i 2 πi
e z = 1 ⟺ z = 2 π i k , k ∈ Z e^z=1\quad\Longleftrightarrow\quad z=2\pi ik,\quad k\in\Z e z = 1 ⟺ z = 2 πik , k ∈ Z 更一般地，
e z 1 = e z 2 ⟺ z 1 − z 2 ∈ 2 π i Z e^{z_1}=e^{z_2}\quad\Longleftrightarrow\quad z_1-z_2\in2\pi i\Z e z 1 = e z 2 ⟺ z 1 − z 2 ∈ 2 πi Z 这说明复指数函数并不是单射，而是无穷多对一的映射。
对数是多值的 其他性质 共轭 e z ‾ = e z ‾ \overline{e^z} = e^{\overline z} e z = e z 导数 d d z e z = e z \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z} e^z=e^z d z d e z = e z 两个小公式 cos z = e i z + e − i z 2 , sin z = e i z − e − i z 2 i \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},\quad\sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} cos z = 2 e i z + e − i z , sin z = 2 i e i z − e − i z 这也是两个双曲函数的来历：
cosh x = e x + e − x 2 , sinh x = e x − e − x 2 \cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2},\quad\sinh x = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} cosh x = 2 e x + e − x , sinh x = 2 e x − e − x 反函数：复对数 反过来看的话，复对数就是解方程：
给定一个非零复数 z ≠ 0 z\ne0 z = 0 w w w
1. 解方程 想要知道 w w w w = u + i v w=u+iv w = u + i v
e w = e u + i v = e u e i v = e u ( cos v + i sin v ) e^w=e^{u+iv}=e^ue^{iv}=e^u(\cos v+i\sin v) e w = e u + i v = e u e i v = e u ( cos v + i sin v ) 如果把 z z z
z = r e i ( θ + 2 π k ) , k ∈ Z z= re^{i(\theta+2\pi k)}, \quad k\in\Z z = r e i ( θ + 2 πk ) , k ∈ Z 所以 r = ∣ z ∣ > 0 r=|z|>0 r = ∣ z ∣ > 0
因此，再展开 z z z
e u ( cos v + i sin v ) = r ( cos θ + i sin θ ) e^u(\cos v+i\sin v)=r(\cos\theta+i\sin\theta) e u ( cos v + i sin v ) = r ( cos θ + i sin θ ) 我们可以通过比较模和辐角来得到 w w w
模 从 e u = r e^u=r e u = r r > 0 r>0 r > 0
这里的 ln r \ln r ln r R \R R
辐角 v = θ + 2 π k , k ∈ Z v = \theta +2\pi k, \quad k\in\Z v = θ + 2 πk , k ∈ Z 所以所有满足 e w = z e^w=z e w = z w w w
w = ln r + i ( θ + 2 π k ) , k ∈ Z w=\ln r+i(\theta+2\pi k),\quad k\in\Z w = ln r + i ( θ + 2 πk ) , k ∈ Z 其中
r = ∣ z ∣ , θ = arg z r=|z|,\quad \theta = \arg z r = ∣ z ∣ , θ = arg z 这就是复对数的多值表达式，往往写成：
log z = ln ∣ z ∣ + i ( arg z + 2 π k ) , k ∈ Z \log z=\ln|z|+i(\arg z+2\pi k), \quad k\in\Z log z = ln ∣ z ∣ + i ( arg z + 2 πk ) , k ∈ Z 复对数的分支与主值 我们知道辐角有无穷多个，所以复对数也有无穷多个值。如果要选一个辐角作为标准，我们通常取
Arg z ∈ ( − π , π ] \operatorname{Arg}z\in \left(-\pi,\pi\right] Arg z ∈ ( − π , π ] 称为主辐角 ，那主值对数 就自然定义为：
Log z = ln ∣ z ∣ + i Arg z \operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z Log z = ln ∣ z ∣ + i Arg z 复对数的主值 于是所有复对数都可以写成：
log z = Log z + 2 π i k , k ∈ Z \log z = \operatorname{Log}z+2\pi ik,\quad k\in\Z log z = Log z + 2 πik , k ∈ Z 例如：
log 1 = 2 π i k log ( − 1 ) = i ( π + 2 π k ) log i = i ( π 2 + 2 π k ) \log 1=2\pi ik\\
\log(-1)=i(\pi+2\pi k)\\
\log i = i\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k\right) log 1 = 2 πik log ( − 1 ) = i ( π + 2 πk ) log i = i ( 2 π + 2 πk ) 我们可以根据我们对对数的直觉来理解一下，就会发现这个这个定义特别合理：对于所有实数，多值对数的主值正好与实对数相同，而它所对应的多个值，也就是在极坐标上转 2 π 2\pi 2 π i i i 极其重要 。我们会在之后的应用看到他们。
其实数学作为一门哲学，如果到处是“无意义”或者“不存在”，是很不美观的，就像纸上破了一个个洞一样。而复数的出现完美填补了“偶数次方为什么不能是负数？” ，“指对数为什么不能是负数？” ，“ sin \sin sin ， cos \cos cos 的值为什么只能呆在 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [ − 1 , 1 ] 内？” 等多个类似的空缺：复数用一个简洁的体系扩展了整个实数域。我们会在之后的应用中发现，原本在实数域需要绕很大一圈的方程、积分，如果引入复数，我们可以开启一条直通答案的隧道，最后自然而然地消掉复数，回到实数域，得到答案。举个例子：
∫ d x x 5 + 1 \int \frac{\mathrm dx}{x^5+1} ∫ x 5 + 1 d x 这道钓鱼题想必大家都看过，如果用实数方法需要用到
x 5 + 1 = ( x + 1 ) ( x 2 − 2 cos π 5 x + 1 ) ( x 2 − 2 cos 3 π 5 x + 1 ) x^5+1=(x+1)\left(x^2-2\cos\frac{\pi}{5}x+1\right)\left(x^2-2\cos\frac{3\pi}{5}x+1\right) x 5 + 1 = ( x + 1 ) ( x 2 − 2 cos 5 π x + 1 ) ( x 2 − 2 cos 5 3 π x + 1 ) 最后通过暴力运算解题。
但如果用复数方法，可以直接解方程：
x 5 = − 1 ⇒ r k = e i ( 2 k + 1 ) π / 5 , k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 x^5=-1\Rightarrow r_k=e^{i(2k+1)\pi/5},\quad k=0,1,2,3,4 x 5 = − 1 ⇒ r k = e i ( 2 k + 1 ) π /5 , k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 这里右侧就用了复数旋转的几何意义：考虑一个圆，以圆的最左侧（对应这道题的 − 1 -1 − 1 θ \theta θ θ \theta θ 360 ° 360\degree 360° 360 ° 360\degree 360° k k k 5 5 5 360 ° ÷ 5 × k 360\degree\div5\times k 360° ÷ 5 × k k k k 0 0 0 4 4 4 5 5 5 2 k π ÷ 5 2k\pi\div5 2 kπ ÷ 5 − 1 -1 − 1 π \pi π e i ( 2 k + 1 ) π / 5 e^{i(2k+1)\pi/5} e i ( 2 k + 1 ) π /5
因为有了 r k 5 = − 1 r_k^5=-1 r k 5 = − 1
1 x 5 + 1 = ∑ k = 0 4 1 5 r 4 1 x − r k = − 1 5 ∑ k = 0 4 r k x − r k \frac{1}{x^5+1}=\sum_{k=0}^{4}\frac{1}{5r^4}\frac{1}{x-r_k}=-\frac{1}{5}\sum_{k=0}^{4}\frac{r_k}{x-r_k} x 5 + 1 1 = k = 0 ∑ 4 5 r 4 1 x − r k 1 = − 5 1 k = 0 ∑ 4 x − r k r k 然后直接出答案：
∫ d x x 5 + 1 = − 1 5 ∑ k = 0 4 r k ln ( x − r k ) + C \int \frac{\mathrm dx}{x^5+1}=-\frac{1}{5}\sum_{k=0}^{4}r_k\ln(x-r_k)+C ∫ x 5 + 1 d x = − 5 1 k = 0 ∑ 4 r k ln ( x − r k ) + C 这就是复数解，非常优雅。只是如果要得到实数解，需要配对共轭根，最后答案就很丑陋了。
复数幂 废话说的有点多了，让我们迅速学掉最后一点点内容吧！
设 z ≠ 0 z\ne0 z = 0 α ∈ C \alpha\in\mathbb{C} α ∈ C
z α = e α log z z^\alpha=e^{\alpha\log z} z α = e α l o g z 这里的关键在于： log z \log z log z z α z^\alpha z α
我们知道，复对数所有值为：
log z = ln ∣ z ∣ + i ( arg z + 2 π k ) , k ∈ Z \log z = \ln|z|+i(\arg z+2\pi k),\quad k\in\Z log z = ln ∣ z ∣ + i ( arg z + 2 πk ) , k ∈ Z 因此，
z α = e α log z = e α ( ln ∣ z ∣ + i arg z ) e 2 π i k α z^\alpha = e^{\alpha\log z}=e^{\alpha(\ln |z|+i\arg z)}e^{2\pi ik\alpha} z α = e α l o g z = e α ( l n ∣ z ∣ + i a r g z ) e 2 πik α 也就是说，选定一个对数后，所有复幂的值为：
z α = exp ( α Log z ) ⋅ e 2 π i k α , k ∈ Z z^\alpha=\exp(\alpha\operatorname{Log}z)\cdot e^{2\pi ik\alpha},\quad k\in\Z z α = exp ( α Log z ) ⋅ e 2 πik α , k ∈ Z 也许读到这里你已经忘了 Log \operatorname{Log} Log
因此，从公式里可以看出，选取不同对数的值，结果会相差一个因子 e 2 π i k α e^{2\pi ik\alpha} e 2 πik α
整数 若 α = n ∈ Z \alpha=n\in\Z α = n ∈ Z
e 2 π i k n = 1 e^{2\pi ikn}=1 e 2 πikn = 1 因此，不同对数实际上就是转几圈的差别，因此 z n z^n z n
有理数 若 α = p q \alpha=\frac{p}{q} α = q p
e 2 π i k p / q e^{2\pi ikp/q} e 2 πik p / q 是 q q q q q q x 5 = − 1 x^5=-1 x 5 = − 1 ( − 1 ) 1 5 (-1)^\frac{1}{5} ( − 1 ) 5 1 2 π 5 \frac{2\pi}{5} 5 2 π 2 π 2\pi 2 π
无理数 若 α \alpha α e 2 π i k α e^{2\pi ik\alpha} e 2 πik α z α z^\alpha z α
复数 若 α = a + b i \alpha=a+bi α = a + bi b ≠ 0 b\ne0 b = 0
e 2 π i k α = e 2 π i k a e − 2 π k b e^{2\pi ik\alpha}=e^{2\pi ika}e^{-2\pi kb} e 2 πik α = e 2 πika e − 2 πkb 还记得我们之前说的模长吗？对于一个复指数，它的模长就是加法公式拆分后幂为实数的部分，也就是这里的 e − 2 π k b e^{-2\pi kb} e − 2 πkb b b b z α z^\alpha z α z α z^\alpha z α
小例子 求
先写
i = e i ( π / 2 + 2 π k ) , k ∈ Z i=e^{i(\pi/2+2\pi k)},\quad k\in\Z i = e i ( π /2 + 2 πk ) , k ∈ Z 所以
log i = ln ∣ i ∣ + i ( π 2 + 2 π k ) \log i=\ln|i|+i\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k\right) log i = ln ∣ i ∣ + i ( 2 π + 2 πk ) 因为 ∣ i ∣ = 1 |i|=1 ∣ i ∣ = 1 ln ∣ i ∣ = 0 \ln|i|=0 ln ∣ i ∣ = 0
log i = ln ∣ i ∣ + i ( π 2 + 2 π k ) = i ( π 2 + 2 π k ) \log i=\ln|i|+i\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)=i\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k\right) log i = ln ∣ i ∣ + i ( 2 π + 2 πk ) = i ( 2 π + 2 πk ) 回到 i i i^i i i
i i = e i log i = e i ⋅ i ( π 2 + 2 π k ) = e − π 2 − 2 π k , k ∈ Z i^i=e^{i\log i}=e^{i\cdot i\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)}=e^{-\frac{\pi}{2}-2\pi k},\quad k\in\Z i i = e i l o g i = e i ⋅ i ( 2 π + 2 πk ) = e − 2 π − 2 πk , k ∈ Z 然后定睛一看找到主值 k = 0 k=0 k = 0
i i = e − π 2 i^i=e^{-\frac{\pi}{2}} i i = e − 2 π 复数幂直观演示 总结 所以我们简单了解了一下复指数与复对数，发现与实函数其实差别并不大。在复数领域，我们定义函数 log \log log e e e log \log log ln \ln ln ln \ln ln i 2 = − 1 i^2=-1 i 2 = − 1 i = − 1 i=\sqrt{-1} i = − 1
而复指数与复幂也为我们揭示了：在复平面中，运算往往由旋转和放缩组成，这两种变换对应着复指数的实部与虚部。这正是极坐标的思想，而复变函数巧妙的利用指数函数和三角函数把极坐标和直角坐标系无缝转化，这也是复数如此强大的原因。另外，如果好奇为什么底数偏偏选 e e e e e e
下一篇文章我们会研究一些更“高科技”的东西，看看微分是如何在复数域工作的。
