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麦克斯韦方程组详解：从三个基础公式出发！—— Part3.1

2026-10-06
2026-10-08
学习
数学/物理/微积分

在这之前，我们讨论了库仑定律与法拉第电磁感应定律，推导了麦克斯韦方程组的前三个方程。今天让我们着眼于安培定律，推导出麦克斯韦方程组的最后一个方程，完善积分形式的麦克斯韦方程组。

F=BILsinθ

F=BILsin⁡θF=BIL\sin \theta

这条公式告诉我们一条直的通电导线在磁场内受力的大小，而方向则由伟大的右手定则给出。

而有一个强大的二元运算符，不仅包含 sin⁡\sin ，还包含右手定则，是哪个符号好难猜啊（

于是，把导线分成非常小的一段 dl\mathrm d\mathbf l ，每段导线受到的力就是

dF=Idl×B\mathrm d\mathbf F = I\mathrm d\mathbf l \times \mathbf B

其中，叉乘 ×\times 相当于之前的 sin⁡θ\sin\theta ，并且让结果变成了个向量，向量 F\mathbf F 指向的方向就是右手告诉你的方向。至于为什么不是 B×IdlB \times I\mathrm d\mathbf l ，主播也不知道为什么，但现实已经告诉了我们答案。

Biot-Savart 定律

和我们学过的万有引力公式、库仑定律类似，比起严谨的数学推导，这条公式更接近经验总结。在大量的实验后，这条公式准确地给出了衡稳电流 II 在微小线元 dl\mathrm d\mathbf l 在空间点 r\mathbf r 处产生的磁场为：

dB(r)=μ04πIdl×(r−r′)∣r−r′∣3\mathrm d\mathbf B(\mathbf r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I\mathrm d\mathbf l\times \left(\mathbf r - \mathbf r'\right)}{\left|\mathbf r - \mathbf r'\right|^3}

其中， r\mathbf r 就是我们想求磁场的那个场点， r′\mathbf r' 指的是电流元所在的位置，于是 r−r′≠0\\\mathbf r - \mathbf r'\ne\mathbf 0 就是一条从电流元指向场点的矢量，描述了场点相对于电流元的位置。 dl\mathrm d\mathbf l 是一个矢量，大小为导线段的长度，方向为电流方向。 ×\times 给出了磁场的方向（垂直于两者构成的平面，遵循右手定则）。 μ0=4π×10−7 N/A2\mu_0=4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{N/A^2} 是真空磁导率，描述了真空对磁场的“响应能力”；与 1/4π1/4\pi 搭配使用，用于保证量纲正确。

看到这个定律后，相信大家都已经蠢蠢欲动了，于是直接积分来获得 B(r)\mathbf B(\mathbf r) ！

B(r)=μ04π∫Idl×(r−r′)∣r−r′∣3\mathbf B(\mathbf r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{I\mathrm d\mathbf l\times \left(\mathbf r - \mathbf r'\right)}{\left|\mathbf r - \mathbf r'\right|^3}

我们还有如下定义：

J(r′)=ρ(r′)v(r′)\mathbf J(\mathbf r') = \rho(\mathbf r')\mathbf v(\mathbf r')

这里先写单类载流子的电流密度，表示单位截面积上的电荷流动速率，单位为 A/m²。ρ 是标量电荷密度，v 是该类电荷的平均速度；有多类载流子时，把各类的贡献加起来就行。而原来的 I 就是 J 在截面积上的通量：

I=∫SJ⋅dSI = \int_S \mathbf J\cdot \mathrm d\mathbf S

因此原式可以写为：

B(r)=μ04π∫J(r′)×(r−r′)∣r−r′∣3d3r′\mathbf B(\mathbf r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf J(\mathbf r') \times \left(\mathbf r - \mathbf r'\right)}{\left|\mathbf r - \mathbf r'\right|^3}\mathrm d^3 r'

安培环路公式推导

Biot-Savart 定律起手。下面先讨论稳恒电流，并假设电流分布局域、在无穷远衰减足够快，后面分部积分时的边界项就为零。

B(r)=μ04π∫J(r′)×(r−r′)∣r−r′∣3d3r′\mathbf B(\mathbf r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf J(\mathbf r') \times \left(\mathbf r - \mathbf r'\right)}{\left|\mathbf r - \mathbf r'\right|^3}\mathrm d^3 r'

对于其中的 r−r′∣r−r′∣3\frac{\mathbf r-\mathbf r'}{|\mathbf r-\mathbf r'|^3} ，有：

∇r(1∣r−r′∣)=−r−r′∣r−r′∣3\nabla_\mathbf r\left( \frac{1}{|\mathbf r - \mathbf r'|} \right) = -\frac{\mathbf r-\mathbf r'}{|\mathbf r-\mathbf r'|^3}

因为，令 R=∣r−r′∣R = |\mathbf r-\mathbf r'| ，有：

Ri=xi−xi′,R=R12+R22+R32∂∂xi(1R)=−R−2∂R∂xi=−R−2⋅12R⋅2Ri=−RiR3∇r(1R)=−r−r′∣r−r′∣3\begin{align} R_i &= x_i-x_i',\qquad R=\sqrt{R_1^2+R_2^2+R_3^2}\notag\\ \frac{\partial}{\partial x_i}\left(\frac{1}{R}\right) &= -R^{-2}\frac{\partial R}{\partial x_i} = -R^{-2}\cdot\frac{1}{2R}\cdot 2R_i = -\frac{R_i}{R^3}\notag\\ \nabla_{\mathbf r}\left(\frac{1}{R}\right) &= -\frac{\mathbf r-\mathbf r'}{|\mathbf r-\mathbf r'|^3}\notag \end{align}

代入，有：

B(r)=−μ04π∫J(r′)×∇r(1∣r−r′∣)d3r′=μ04π∫∇r(1∣r−r′∣)×J(r′)d3r′=μ04π∇r×∫J(r′)∣r−r′∣d3r′\begin{align} \mathbf B(\mathbf r) &= -\frac{\mu_0}{4\pi} \int\mathbf J(\mathbf r') \times \nabla_\mathbf r\left(\frac{1}{\left|\mathbf r - \mathbf r'\right|}\right)\mathrm d^3 r' \notag\\ &= \frac{\mu_0}{4\pi}\int \nabla_\mathbf r\left(\frac{1}{|\mathbf r-\mathbf r'|}\right)\times\mathbf J(\mathbf r')\mathrm d^3r' \notag \\ &= \frac{\mu_0}{4\pi}\nabla_\mathbf r\times\int\frac{\mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|}\mathrm d^3r'\notag \end{align}

等式两边分别取旋度：

∇r×B=μ04π∇r×∇r×∫J(r′)∣r−r′∣d3r′\nabla_\mathbf r\times\mathbf B = \frac{\mu_0}{4\pi}\nabla_\mathbf r\times\nabla_\mathbf r\times\int\frac{\mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|}\mathrm d^3r'

根据向量微分恒等式 ∇×(∇×A)=∇(∇⋅A)−∇2A\nabla\times(\nabla\times\mathbf A)=\nabla(\nabla\cdot\mathbf A)-\nabla^2\mathbf A ，有：

∇r×B=μ04π∇r∫J(r′)⋅∇r(1∣r−r′∣)d3r′−μ04π∫J(r′)∇r2(1∣r−r′∣)d3r′\nabla_\mathbf r\times\mathbf B = \frac{\mu_0}{4\pi}\nabla_\mathbf r\int\mathbf J(\mathbf r')\cdot\nabla_\mathbf r\left(\frac{1}{|\mathbf r-\mathbf r'|}\right)\mathrm d^3 r'- \frac{\mu_0}{4\pi}\int\mathbf J(\mathbf r')\nabla_\mathbf r^2\left(\frac{1}{|\mathbf r-\mathbf r'|}\right)\mathrm d^3 r'

又 ∇r(∣r−r′∣−1)=−∇r′(∣r−r′∣−1)\nabla_\mathbf r\left(|\mathbf r-\mathbf r'|^{-1}\right)=-\nabla_{\mathbf r'}\left(|\mathbf r-\mathbf r'|^{-1}\right) 和 ∇r2(∣r−r′∣−1)=−4πδ(r−r′)\nabla_\mathbf r^2\left(|\mathbf r-\mathbf r'|^{-1}\right)=-4\pi\delta(\mathbf r-\mathbf r') ，

∇r×B=−μ04π∇r∫J(r′)⋅∇r′(1∣r−r′∣)d3r′+μ0J(r)=μ0J+μ04π∇r∫∇r′⋅J(r′)∣r−r′∣d3r′\begin{align} \nabla_\mathbf r\times\mathbf B&=-\frac{\mu_0}{4\pi}\nabla_\mathbf r\int\mathbf J(\mathbf r')\cdot\nabla_{\mathbf r'}\left(\frac{1}{|\mathbf r-\mathbf r'|}\right)\mathrm d^3r'+\mu_0\mathbf J(\mathbf r) \notag \\ &= \mu_0\mathbf J+\frac{\mu_0}{4\pi}\nabla_\mathbf r\int\frac{\nabla_{\mathbf r'}\cdot\mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|}\mathrm d^3r'\notag \end{align}

因为在安培的假设下， ∇⋅J=0\nabla\cdot\mathbf J= 0 ，所以后面那一项复杂的积分式子直接等于 00 ，原式最终化简为安培环路定律：

∇×B=μ0J\large\nabla\times\mathbf B = \mu_0\mathbf J

专栏麦克斯韦方程组详解

从人人都会的基础电学公式开始，和我一起推导麦克斯韦方程组吧！

1
麦克斯韦方程组详解：从三个基础公式出发！—— Part1

高斯电场定律

2
麦克斯韦方程组详解：从三个基础公式出发！—— Part2

高斯磁定律 & 法拉第电磁感应定律

3
麦克斯韦方程组详解：从三个基础公式出发！—— Part3.1

安培定律

4
麦克斯韦方程组详解：从三个基础公式出发！—— Part3.2

安培-麦克斯韦定律

5
麦克斯韦方程组详解：从三个基础公式出发！—— Final

整理麦克斯韦方程组

6番外
为什么光速不变？

从麦克斯韦方程组推导真空光速

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麦克斯韦方程组详解：从三个基础公式出发！—— Part3.1
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作者
ZzacharyzZ
发布于
2026-10-06
许可协议
CC BY-NC-SA 4.0

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