回顾三个电磁学定律

我们学过三大公式，撑起整个初高中的电磁学：库伦定律、安培定律、法拉第电磁感应定律。回顾一下，它们应该是：

也是非常的熟悉！那就让我们一个个仔细观察他们！

库仑定律

高中我们推导过：

其中 $E$ 是场强， $\hat{\mathbf r}$ 是一个方向向量，代表了场强的方向（例如，靠近一个正电荷，场强方向就是远离电荷的方向），中间的公式不必多说，就是场强的大小。

现在想象一块电场（是向量场），再想象一个小体积（例如正方体），电场就像水流一样流过这块体积。我们定义一个“流量”，也就是这块体积有多少水汇入，多少水输出。它们的差就是“流量”，也就是我们的电场通量 $\Phi_E$ 。我们继续定义字母 $A$ 为包裹体积的表面。

聪明的你肯定发现了：把整块表面积化为一块块极小的 $\Delta A$ ，计算电场 $E$ 在每块小表面上的通量，再全部加起来，不就得到了整块体积的电场通量了嘛！于是你提出：

这里， $\mathrm d\mathbf A$ 的大小就是一块微小的面积，它的方向指向体积的外部。这么做的原因是因为流入定义为负，流出定义为正（如果你想反过来定义， $\mathrm d\mathbf A$ 就应该是朝内的了哈哈）。这里的 $\mathbf E \cdot \mathrm d\mathbf A$ 可以拆解为 $\left(\mathbf E_{||}+\mathbf E_{\perp}\right)\cdot\mathrm d\mathbf A$ ，也就是这个点的场强可以分解为平行和垂直 $\mathrm d\mathbf A$ 的分量。而你也发现该式的后半段直接等于 $0$ ！于是“斜向流入”也就自动变成了“垂直流入”，这下一点歧义也没有了！另外，这个吓人的积分号 $\oint_A$ 作用就是求和，但它额外声明了一下表面 $A$ 一定是一个闭合曲面，因为这里要讨论曲面包围的净电荷，所以选用闭合曲面；开放曲面当然也能计算通量，只是不能直接套用这条电场高斯定律。

我们让这块体积包裹一个点电荷，会发现无论包裹电荷的表面形状怎么变，穿出表面的电场线的数量一定保持一致。就好比用一个篮子打水，无论篮子长什么样，水流出篮子缝隙的量永远是固定的。那如果把点电荷放在一个包裹电荷的球体的球心，就不难发现每条场线恰好都垂直通出球面，直接无需点乘“取投影”的操作，大大简化计算！于是我们理所应当的代入球面 $A=4\pi r^2$ 与公式 $(1)$ ，推出：

其中 $\varepsilon_0=\frac{1}{4\pi k}$ 。

细心的你一定观察到了：主播主播，为什么刚刚那一段你用了粗体的 $\mathbf E$ 而这里推导你却没加粗 $E$ ？这里不是主播失误，而是刚刚的 $\mathbf E$ 是在某点的向量，现在的 $E$ 已经不需要向量形式了（刚刚已经提到，点乘被球体简化了），所有球体表面上的场强都相同，都是 $E$ ！

于是，麦克斯韦方程组一号公式闪亮登场，无论什么样的表面，只要包裹一个相同的点电荷，电场通量都相同。这就是高斯电场定律：