轻松复分析 —— 0.0 欧拉公式是怎么来的？

2026-10-08

2026-10-10

高中学复数的时候，所有人都会学到一个关键公式：

e^{ix}=\cos x+i\sin x

也就是欧拉公式。它架起了一座跨越实数域与复数域，指数函数与三角函数的桥梁。

但是不知道有没有人想过：这么伟大的公式到底是怎么推导出来的？一种回答是：直接用右边的三角函数表达式定义左边的复指数，公式不就成立了吗？把公式直接用作定义是可以的，但若想理解它为什么具有指数函数的性质，就还需要进一步论证。今天，我们就来一起研究一下欧拉公式到底是怎么来的。

形式推导

不难发现，通过泰勒展开：

e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots

把 $x$ 换成 $ix$ ，并利用 $i^2=-1$ ，

\begin{aligned} e^{ix}&=1+ix+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\cdots\\ &=1+ix-\frac{x^2}{2!}-i\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+i\frac{x^5}{5!}-\cdots \end{aligned}

然后分开实部和虚部：

\begin{aligned} e^{ix} &=1+ix-\frac{x^2}{2!}-i\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+i\frac{x^5}{5!}-\cdots \\ &=\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots\right)+i\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots\right) \end{aligned}

正好等于 $\cos x+i\sin x$ ，因此

e^{ix}=\cos x+i\sin x

逻辑正确吗？

上面的计算揭示了欧拉公式的结构，但要把它当成证明，还需要交代几件事。

定义复指数。在实数范围内定义的 $e^x$ ，并不会自动给出 $e^{ix}$ 的含义。只知道实变量的泰勒展开，不能直接把 $x$ 换成 $ix$ 。一个自然的做法是先对复数 $z$ 定义 $E(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$ ，再证明它在实数上与原来的 $e^x$ 一致。这样， $e^{ix}$ 才有明确的含义。
说明级数运算成立。这个复幂级数对任意 $z$ 都绝对收敛，因此代入 $z=ix$ 后，可以按偶数项和奇数项分组，分别得到实部与虚部。还需要用到实变量正弦、余弦的幂级数展开，才能认出它们正是 $\cos x$ 和 $\sin x$ 。

因此，代数计算本身正确，但缺少定义、收敛性，以及三角函数幂级数的依据：只有补上这些前提，才是一条完整的证明路线。

当然，也可以从三角函数出发，定义 $e^{a+ib}=e^a(\cos b+i\sin b)$ ，其中 $a$ 、 $b$ 为实数。这同样是合法的定义；之后还要验证它在实轴上与原指数函数一致，并满足 $e^{z+w}=e^ze^w$ 等性质。下面让我们选用幂级数作为出发点，逐步补全证明。

严谨推导

泰勒展开

定义复指数函数

\exp(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!},\quad z\in \mathbb{C}

先考察收敛性。当 $z=0$ 时，级数显然收敛；对于非零的 $z\in\mathbb C$ ，相邻项绝对值之比为：

\left|\frac{z^{n+1}/(n+1)!}{z^n/n!}\right|=\frac{|z|}{n+1}\to 0

结合 $z=0$ 时的直接验证与非零情形下的比值判别法，该级数对任意复数 $z$ 都绝对收敛。现在定义

e^z:=\exp(z)

令 $z=ix$ ，其中 $x\in\mathbb R$ 。在实轴上，实指数的泰勒余项趋于零，故这一新定义与原来的实指数一致。由于级数绝对收敛，可以按偶数项和奇数项分组：

e^{ix}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(ix)^n}{n!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(ix)^{2k}}{(2k)!}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(ix)^{2k+1}}{(2k+1)!}

利用 $(ix)^{2k}=(-1)^kx^{2k}$ 和 $(ix)^{2k+1}=i(-1)^kx^{2k+1}$ 得

e^{ix} = \sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!} + i\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}

对实数 $x$ ，正弦和余弦的泰勒余项趋于零，因此：

\begin{aligned} \cos x&=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!} \\ \sin x&=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} \end{aligned}

因此

e^{ix}=\cos x+i\sin x

微分方程

沿用上面的幂级数定义，考虑函数 $e^{ix}$ 。原幂级数及其导数级数在任意有界区间上一致收敛，因此可以逐项求导；这个函数满足初值问题

f'(x)=if(x),\quad f(0)=1

这个初值问题的解唯一。再设

g(x) = \cos x+i\sin x

则

g'(x) = -\sin x+ i\cos x=i(\cos x+ i\sin x)=ig(x)

且

g(0) = 1

由一阶线性微分方程解的唯一性可知：