聪明的麦克斯韦发现安培环路定律有一点小缺陷。

想象一根导线连接到平行板电容器并给它充电，选取一个闭合环路 $\partial S$ 环绕导线，取两个不同的曲面 $S_1$ 与 $S_2$ 都以 $\partial S$ 为边界：

• $S_1$ 穿过导线，穿过导线处的电流为 $I$ ，按照安培环路定律的积分形式可以得到 $\oint \mathbf B\cdot \mathrm d\mathbf l = \mu_0I$ ；

• $S_2$ 伸进两块电容板之间，不穿导线，因此电流为 $0$ ，按照安培定律得到 $\oint \mathbf B\cdot \mathrm d\mathbf l = 0$ 。

发现矛盾了！因为同一个环路得到的结果不应该和我们选取的曲面有关。另外，原始的安培定律也不适用于时变电荷/电场的情形。根据电荷守恒的连续性方程：

其中 $\rho(\mathbf r,t)$ 是电荷密度， $\mathbf J(\mathbf r, t)$ 是之前的电流密度。 $\nabla\cdot\mathbf J>0$ 表示电流流出多于流入，电荷密度减小； $\nabla\cdot\mathbf J<0$ 表示电流流入多于流出，电荷密度增大。该方程保证了电荷不会凭空产生或消失，只会流动来改变其分布。

安培公式也需要满足这条公式作为前提。当电荷变化时， $\nabla\cdot\mathbf J\ne0$ 往往会成立，但安培定律要求 $\nabla\cdot\mathbf J=0$ ，所以会有无法满足的情况。

麦克斯韦-安培定律推导

假设我们把安培定律修正为在右边加一个未知的项 $\mathbf X(\mathbf r,t)$ ：

两边取散度：

为了满足连续性方程，我们要求

说明 $\mathbf X$ 应该满足其散度为 $\partial\rho/\partial t$ 。

再根据之前讲过的电场高斯定律（这里用了它的微分形式，稍微有点超纲，不过之后会再次推导）：

对时间求导得：

整理：

回代等式 $(1)$ ，得到：

自然选择

当然，数学上来说，这里还可以加上一切散度为 $0$ 的向量场。但是上式在物理意义上来看显然最自然，同时也最符合实验结果。

最后，回代修正后的安培定律，得到安培-麦克斯韦定律，也就是麦克斯韦方程组的最后一条方程！